有限数学示例

$y = \frac{5}{x^{2} - 4 x + 7}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ 。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$

解题步骤 2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

解题步骤 2.2

去掉圆括号。

$x^{2} - 4 x + 7, 1$

解题步骤 2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2} - 4 x + 7$

解题步骤 3

将 $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ 中的每一项乘以 $x^{2} - 4 x + 7$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} = y$ 中的每一项乘以 $x^{2} - 4 x + 7$ 。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $x^{2} - 4 x + 7$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5}{x^{2} - 4 x + 7} (x^{2} - 4 x + 7) = y (x^{2} - 4 x + 7)$

解题步骤 3.2.1.2

重写表达式。

$5 = y (x^{2} - 4 x + 7)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$5 = y x^{2} + y (- 4 x) + y \cdot 7$

解题步骤 3.3.2

化简。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$5 = y x^{2} - 4 y x + y \cdot 7$

解题步骤 3.3.2.2

将 $7$ 移到 $y$ 的左侧。

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 \cdot y$

$5 = y x^{2} - 4 y x + 7 y$

解题步骤 4

求解方程。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$ 。

$y x^{2} - 4 y x + 7 y = 5$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$y x^{2} - 4 y x + 7 y - 5 = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = y$ 、 $b = - 4 y$ 和 $c = 7 y - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

添加圆括号。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4 y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot (7 y - 5))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.2

使 $u = y \cdot (7 y - 5)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y \cdot (7 y - 5)$ 。

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解题步骤 4.5.1.2.1

对 $- 4 y$ 运用乘积法则。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} y^{2} - 4 \cdot u}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{16 y^{2} - 4 u}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.3

从 $16 y^{2} - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 4.5.1.3.1

从 $16 y^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) - 4 u}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.3.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2}) + 4 (- u)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.3.3

从 $4 (4 y^{2}) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - u)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.4

使用 $y \cdot (7 y - 5)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y \cdot (7 y - 5)))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5

化简。

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解题步骤 4.5.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1.5.1.1

运用分配律。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (y (7 y) + y \cdot - 5))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y + y \cdot - 5))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.3

将 $- 5$ 移到 $y$ 的左侧。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y \cdot y - 5 \cdot y))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.5.1.5.1.4.1

移动 $y$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 (y \cdot y) - 5 \cdot y))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 \cdot y))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2} - 5 y))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.5

运用分配律。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - (7 y^{2}) - (- 5 y))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.6

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} - (- 5 y))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.1.7

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (4 y^{2} - 7 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.5.2

从 $4 y^{2}$ 中减去 $7 y^{2}$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (- 3 y^{2} + 5 y)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.6

从 $- 3 y^{2} + 5 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.5.1.6.1

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + 5 y)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.6.2

从 $5 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y) + y \cdot 5)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.6.3

从 $y (- 3 y) + y \cdot 5$ 中分解出因数 $y$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{4 y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.7

将 $4 y (- 3 y + 5)$ 重写为 $2^{2} (y (- 3 y + 5))$ 。

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解题步骤 4.5.1.7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.7.2

添加圆括号。

$x = \frac{4 y \pm \sqrt{2^{2} (y (- 3 y + 5))}}{2 y}$

解题步骤 4.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$

解题步骤 4.5.2

化简 $\frac{4 y \pm 2 \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{2 y}$ 。

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{y (- 3 y + 5)}}{y}$

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